Вержбицкий В. М. - Основы численных методов: учебник для вузов

Скачать

Вержбицкий В. М. - Основы численных методов: учебник для вузов

Основы численных методов: учебник для вузов

Год: 2002

Автор: Вержбицкий В. М.

Жанр: учебник

Издательство: Высшая школа

ISBN: 5-06-004020-8

Язык: Русский

Формат: DjVu

Качество: Отсканированные страницы

Интерактивное оглавление: Да

Количество страниц: 840

Описание: В книге систематически излагаются численные методы решения основных задач алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.

Предисловие #8

Глава 1. Об учете погрешностей приближенных вычислений #11

1.1. Общая формула для оценки главной части погрешности #11

1.2. Статистический и технический подходы к учету погрешностей действий #16

1.3. Понятие о погрешностях машинной арифметики #18

1.4. Примеры неустойчивых задач и методов #24

1.5. Обусловленность линейных алгебраических систем #27

1.6. Погрешности корней скалярных уравнений с приближенными коэффициентами #33

1.7. Корректные и некорректные задачи. Понятие о методах регуляризации #38

Упражнения #49

Глава 2. Решение линейных алгебраических систем (прямые методы) #51

2.0. Введение #51

2.1. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента #54

2.2. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и к обращению матриц #58

2.3. LU-разложение матриц #61

2.4. Решение линейных систем и обращение матриц с помощью LU-разложения #64

2.5. Разложение симметричных матриц. Метод квадратных корней #71

2.6. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов #74

2.7. Метод вращений решения линейных систем #79

2.8. Два замечания к применению прямых методов #84

Упражнения #87

Глава 3. Итерационные методы решения линейных алгебраических систем и обращения матриц #90

3.1. Решение СЛАУ методом простых итераций #90

3.2. Метод Якоби #98

3.3. Метод Зейделя #101

3.4. Понятие о методе релаксации #110

3.5. О других итерационных методах решения СЛАУ #114

3.6. Быстросходящийся итерационный способ обращения матриц #123

3.7. О роли ошибок округления в итерационных методах #128

Упражнения #131

Глава 4. Методы решения алгебраических проблем собственных значений #134

4.1. Собственные пары матриц и их простейшие свойства #134

4.2. Степенной метод #140

4.3. Обратные итерации #152

4.4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений #160

4.5. Понятие об LU-алгоритме для несимметричных задач #171

4.6. QR-алгоритм #175

Упражнения #186

Глава 5. Методы решения нелинейных скалярных уравнений #189

5.1. Локализация корней #189

5.2. Метод дихотомии. Метод хорд #196

5.3. Типы сходимостей итерационных последовательностей #200

5.4. Метод Ньютона #203

5.5. Применение метода Ньютона к вычислению значений функций #213

5.6. Модификации метода Ньютона. Метод секущих #216

5.7. Полюсные методы Ньютона и секущих #227

Упражнения #240

Глава 6. Скалярная задача о неподвижной точке. Алгебраические уравнения #242

6.1. Задача о неподвижной точке. Метод простых итераций #242

6.2. Ускорение сходимости последовательных приближений #253

6.2.1. "Дельта в квадрате" процесс Эйткена #255

6.2.2. Метод Вегстейна #260

6.3. Нелинейные уравнения с параметром. Бифуркации #263

6.4. О методах решения алгебраических уравнений. Метод Бернулли #271

Упражнения #278

Глава 7. Методы решения систем нелинейных уравнений #280

7.1. Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций #280

7.2. Метод Ньютона, его реализации и модификации #284

7.3. Метод Брауна #291

7.4. Метод секущих Бройдена #293

7.5. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай #299

7.6. О решении нелинейных систем методами спуска #305

7.7. Численный пример #310

7.8. Сходимость метода Ньютона и некоторых его модификаций #312

Упражнения #325

Глава 8. Полиномиальная интерполяция #327

8.1. Задача и способы аппроксимации функций #327

8.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа #330

8.3. Интерполяционная схема Эйткена #339

8.4. Конечные разности #345

8.5. Конечноразностные интерполяционные формулы #351

8.6. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов #364

8.7. Обратное интерполирование #370

8.8. Интерполяция с кратными узлами #375

Упражнения #380

Глава 9. Многочлены Чебышева и наилучшие равномерные приближения #383

9.1. Определение и свойства многочленов Чебышева #383

9.2. Интерполяция по чебышевским узлам #388

9.3. O многочленах наилучших равномерных приближений #391

9.4. Экономизация степенных рядов #397

Упражнения #401

Глава 10. Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения #403

10.1. Простейшая обработка эмпирических данных методом наименьших квадратов #403

10.2. Обобщенные многочлены наилучших среднеквадратических приближений #411

10.3. О нормальной системе МНК при полиномиальной аппроксимации #415

10.4. Системы ортогональных многочленов #419

10.5. Простая процедура построения системы ортогональных многочленов #422

10.6. Аппроксимация функций многочленами Фурье #425

Упражнения #428

Глава 11. Интерполяционные сплайны #430

11.1. Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Линейные фильтры #430

11.2. Определение сплайна. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1 #436

11.3. Квадратичный сплайн дефекта 1 #444

11.4. Базисные сплайны #452

11.5. Эрмитовы (локальные) сплайны #457

Упражнения #463

Глава 12. Численное интегрирование #464

12.1. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников #464

12.2. Семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса #470

12.3. Составные квадратурные формулы трапеций и Симпсона #477

12.4. Соотношения между формулами прямоугольников, трапеций и Симпсона #480

12.5. Принцип Рунге практического оценивания погрешностей. Алгоритм Ромберга #482

12.6. Квадратурные формулы Чебышева и Гаусса #486

12.7. Формулы Гаусса-Кристоффеля #494

12.8. Приемы приближенного вычисления несобственных интегралов #500

Упражнения #507

Глава 13. Аппроксимация производных #509

13.1. Вывод формул численного дифференцирования #509

13.2. Остаточные члены простейших формул численного дифференцирования #513

13.3. Оптимизация шага численного дифференцирования при ограниченной точности значений функции #523

Упражнения #530

Глава 14. Методы Эйлера и Рунге-Кутты решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений #532

14.1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов. Метод последовательных приближений #532

14.2. Метод Эйлера — разные подходы к построению #536

14.3. Несколько простых модификаций метода Эйлера #540

14.4. Исправленный метод Эйлера #544

14.5. О семействе методов Рунге-Кутты. Методы второго порядка #545

14.6. Методы Рунге-Кутты произвольного и четвертого порядков #547

14.7. Пошаговый контроль точности. Метод Кутты-Мерсона #550

Упражнения #555

Глава 15. Линейные многошаговые методы #557

15.1. Многошаговые методы Адамса #557

15.2. Методы прогноза и коррекции. Предиктор-корректорные методы Адамса #564

15.3. Метод Милна четвертого порядка #567

15.4. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности #570

15.5. О численном решении систем дифференциальных уравнений первого порядка #576

15.6. Численное решение дифференциальных уравнений высших порядков. Методы Адамса-Штёрмера #577

Упражнения #583

Глава 16. О проблемах численной устойчивости #585

16.1. Общая схема решения задач численного анализа. Аппроксимация, устойчивость, сходимость #585

16.2. Простейшие разностные аппроксимации задачи Коши. Глобальная погрешность метода Эйлера #589

16.3. Краткие сведения о решениях линейных разностных уравнений с постоянными коэффицентами #593

16.4. Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем #596

16.5. Исследование устойчивости многошаговых методов #600

16.6. Жесткие уравнения и системы #603

16.7. А- и A(альфа)-устойчивость. Чисто неявные методы #609

Упражнения #615

Глава 17. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений #617

17.1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов #617

17.2. Методы сведения краевых задач к начальным #619

17.3. Метод конечных разностей #625

17.4. Метод коллокации #630

17.5. Метод Галёркина #636

17.6. Метод конечных элементов #641

Упражнения #651

Глава 18. Численное решение интегральных уравнений #654

18.1. Некоторые общие сведения об интегральных уравнениях #654

18.2. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Фредгольма #662

18.3. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Вольтерра #668

18.4. Квадратурно-итерационный метод построения резольвент #678

Упражнения #685

Глава 19. Дифференциальные уравнения с частными производными #687

19.1. Примеры уравнений математической физики. Классификация уравнений с частными производными #687

19.2. Постановки задач для уравнений математической физики #692

19.3. Метод разделения переменных #695

19.4. Метод прямых #700

19.5. Вариационные методы. Метод Ритца (общая схема) #709

19.6. Метод Ритца для двумерной задачи Дирихле #714

19.7. О двумерном методе конечных элементов #720

Упражнения #725

Глава 20. Конечноразностные методы решения эволюционных задач #726

20.1. Некоторые разностные схемы для уравнения теплопроводности #726

20.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностных схем для уравнения теплопроводности #732

20.3. Двухслойный шеститочечный и другие шаблоны для параболических уравнений #736

20.4. Дискретизация волнового уравнения #739

20.5. О консервативных схемах и о разрывных решениях #743

20.6. Разностные схемы для параболического уравнения с двумя пространственными переменными #747

Упражнения #755

Глава 21. Метод конечных разностей для стационарных задач #758

21.1. Конечноразностная дискретизация краевых задач для эллиптических уравнений #758

21.2. О специфике СЛАУ, аппроксимирующих эллиптические уравнения, и прямых методах их решения #767

21.3. Об итерационном решении сеточных уравнений #774

21.4. Методы установления #781

Упражнения #785

Заключительное замечание #787

Приложение 1. Некоторые сведения из функционального анализа #789

Приложение 2. Образцы постановок лабораторных заданий #807

Литература #819

Предметный указатель #828

Указатель обозначений и сокращений #838

Дополнительно: Переработал книгу из другой раздачи: разрезал странцы, удалил мусор, добавил интерактивное оглавление, уменьшил втрое размер.

Скачать